Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
а) делится на 12!;
б) делится на 13!.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам 
а) Докажите, что k > 50.
б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны,
M – середина стороны AD. Известно, что ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Дано иррациональное число α, 0 < α < ½. По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и 1 – 2α. По этому числу аналогично определяется α2, и так далее.
а) Докажите, что αn < 3/16 для некоторого n .
б) Может ли случиться, что αn > 7/40 при всех натуральных n?
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]
Фильтр
