Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66176  (#1)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Инварианты ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Объем помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66177  (#2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66178  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66179  (#4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a₁, a₂, a₃, ... и геометрическая b₁, b₂, b₃, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66180  (#5)

Темы:   [ Куб ] [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями