ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 66176  (#1)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Объем помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему будет в этот в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66177  (#2)

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66178  (#3)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66179  (#4)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a1, a2, a3, ... и геометрическая b1, b2, b3, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66180  (#5)

Темы:   [ Куб ]
[ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ]
[ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .