|
|
 |
Условие
В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.
Решение
Заменим числа их остатками от деления на 4: на делимость сумм это не повлияет. Теперь в таблице – по 1003² чисел 0, 1, 2, 3. Предположим противное: сумма чисел в любых двух "соседних" клетках не кратна 4. Разобьём таблицу на 1003² квадратиков 2×2. Согласно предположению, каждый такой квадратик содержит не более одного нуля. Значит, в каждом квадратике – ровно один нуль. Аналогично в каждом квадратике ровно одна двойка.
Квадратик не может содержать одновременно 1 и 3, поэтому число единиц в нем чётно (ноль или две). Но тогда и во всей таблице число единиц чётно. Противоречие.
Замечания
4 балла
