ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66179
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a1, a2, a3, ... и геометрическая b1, b2, b3, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.


Решение

Пусть d – разность первой прогрессии, q – знаменатель второй (можно считать, что  q ≠ 1).  Тогда  b2b1 = md  (m целое), и при любом натуральном n (в частности, при  n = 1 ) число    представимо в виде дроби со знаменателем m. Запишем q в виде несократимой дроби. Если её знаменатель больше 1, то знаменатель дроби qm больше m, что противоречит предыдущему. Значит, знаменатель дроби q равен 1.

Замечания

1. 4 балла.

2. Задача также опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №1, задача М2029).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 28
Дата 2006/2007
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .