Задача 109499

Темы:    [ Точка Торричелли ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Решение

  Первый способ. Пусть T_a, T_b, T_c – точки, симметричные T относительно BC, CA, AB соответственно; T' – центр описанной окружности треугольника T_aT_bT_c. Так как  CT_a = CT = CT_b,  прямая CT' является серединным перпендикуляром к T_aT_b и биссектрисой угла T_aCT_b. Следовательно, прямые CT и CT' симметричны относительно биссектрисы угла C. Аналогично прямые BT и BT', AT и AT' симметричны относительно биссектрис соответствующих углов треугольника (рис. слева).
  Пусть теперь T_A, T_B, T_C – точки, симметричные T' относительно BC, CA, AB . Рассуждая, как выше, получаем, что T – центр описанной окружности треугольника T_AT_BT_C, а прямые AT, BT, CT являются серединными перпендикулярами к его сторонам. Значит, углы этого треугольника равны 60°, то есть этот треугольник правильный. Следовательно, точки T_A, T_B, T_C лежат соответственно на прямых AT, BT, CT, а симметричные им прямые проходят через T' (рис. справа).

  Второй способ. Заметим, что  ∠T_CAB = ∠TAC,  ∠T_CBA = ∠TBC,  то есть прямые T_CA и CA симметричны относительно биссектрисы угла TAB, а прямые T_CB и CB – относительно биссектрисы угла TBA. Значит, точки T_C и C изогонально сопряжены относительно треугольника TAB. Поскольку C лежит на биссектрисе угла ATB этого треугольника, T_C тоже лежит на этой биссектрисе, то есть прямая CT проходит через T_C, а прямая, симметричная ей относительно AB, – через T'. Аналогично через T' проходят две другие прямые.

Замечания

1. Точки T' и T тоже изогонально сопряжены. Точка T называется первой точкой Торричелли, а T' – первой точкой Аполлония треугольника ABC. О свойствах этих точек и изогональном сопряжении можно подробнее прочитать в статье А.В. Акопяна и А.А. Заславского "Разные взгляды на изогональное сопряжение" ("Математическое просвещение", №11).

2. Утверждение задачи можно сформулировать так: если из точки T выпустить с равными скоростями три бильярдных шарика в направлениях, противоположных вершинам треугольника, то, отразившись от сторон треугольника, шарики столкнутся. Действительно, из первого способа решения видно, что пути, пройденные шариками до точки T', равны отрезкам TT_A, TT_B, TT_C, являющимся радиусами описанной окружности треугольника T_AT_BT_C.

3. 8 баллов.

4. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №3, М2047).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2292
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	7
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	9
задача
Номер	6