Страница: 1
2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 341]
Точка M внутри выпуклого четырехугольника ABCD такова, что площади треугольников ABM, BCM, CDM и DAM равны. Верно ли, что ABCD — параллелограмм, а точка M — точка пересечения его диагоналей?
Треугольники ABC и ABD равны, причём точки C и D не
совпадают. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой AB.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
На высотах $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ остроугольного неравностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что
$AA_1=BB_1=CC_1=R$, где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.
Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов
которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны
выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.
Страница: 1
2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 341]
Фильтр
