Дан тетраэдр ABCD . В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней ABC , ABD и BCD , делит ребро BD ?

   Решение

В основании призмы лежит n-угольник. Требуется раскрасить все 2n её вершин тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана рёбрами с вершинами всех трёх цветов.
  а) Докажите, что если n делится на 3, то такая раскраска возможна.
  б) Докажите, что если если такая раскраска возможна, то n делится на 3.

   Решение

Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 376]      

Даны окружность $\omega$ с центром $O$ и точка $P$ внутри нее. Пусть $X$ – произвольная точка $\omega$, прямая $XP$ и окружность $XOP$ пересекают $\omega$ во второй раз в точках $X_1$, $X_2$ соответственно. Докажите, что все прямые $X_1X_2$ параллельны друг другу.

Прислать комментарий

Решение

Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором BAC = 30^o, ACD = 40^o, ADB = 50^o, CBD = 60^o и ABC + ADC = 180^o.

Прислать комментарий

Решение

Треугольник ABC вписан в окружность. Точка D — середина дуги AC, точки K и L выбраны на сторонах AB и CB соответственно так, что KL параллельна AC. Пусть K' и L' — точки пересечения прямых DK и DL соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника KLL'K' можно описать окружность.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы двух углов вписанного четырёхугольника параллельны.
Докажите, что сумма квадратов двух сторон четырёхугольника равна сумме квадратов двух других сторон.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 376]