ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116345
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Биссектриса делит дугу пополам ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.


Решение

  Пусть точка M лежит на биссектрисе угла с вершиной O, окружность S1, проходящая через точки O и M, пересекает стороны этого угла в точках A и C, а окружность S2, также проходящая через точки O и M, пересекает эти стороны в точках B и D соответственно, причём точка A лежит между O и B, а точка D – между O и C.
  Луч OM – биссектриса AOC, поэтому точка M – середина не содержащей точку O дуги AC окружности S1, значит,  AM = CM.  Аналогично  BM = DM.
  Четырёхугольник OAMC вписан в окружность S1, поэтому  ∠DCM = ∠OCM = 180° – ∠OAM = ∠BAM.  Аналогично  ∠ABM = ∠CDM.  Значит,
AMB = 180° – ∠BAM – ∠ABM = 180° – ∠DCM – ∠CDM = ∠DMC.
  Таким образом, треугольники AMB и CMD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  AB = CD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 2923

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .