ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 64886

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Касающиеся сферы и инверсия ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
  б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66790

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64614

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Петя и Вася нарисовали по четырёхугольнику без параллельных сторон. Каждый провёл в своём четырёхугольнике одну из диагоналей и вычислил углы, образованные этой диагональю со сторонами своего четырёхугольника. Петя получил числа α, α, β и γ (в некотором порядке), и Вася – тоже эти числа (возможно, в другом порядке). Докажите, что диагонали четырёхугольника Пети пересекаются под теми же углами, что и диагонали четырёхугольника Васи.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56467

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1 – на другой. Докажите, что если  AB1 || BA1  и  AC1 || CA1,  то  BC1 || CB1.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1 таковы, что  AB1 || BA1AC1 || CA1  и  BC1 || CB1.
Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98532

Темы:   [ Трапеции (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В трапеции ABCD на боковой стороне AB дана точка K. Через точку A провели прямую l, параллельную прямой KC, а через точку B – прямую m, параллельную прямой KD. Докажите, что точка пересечения прямых l и m лежит на стороне CD.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .