Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 >> [Всего задач: 27]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Окружности ω1 и ω2 касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω2, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω1. Прямые BP, CP вторично пересекают ω2 в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω2 в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I и вписан в окружность Ω. Прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые BC и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что описанная окружность ω треугольника PIQ перпендикулярна Ω.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, B0 – точка пересечения BB1 и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A1C1B0. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
На стороне BC квадрата ABCD выбрали точку M. Пусть X, Y, Z – центры окружностей, вписанных в треугольники ABM, CMD, AMD соответственно; Hx, Hy, Hz – ортоцентры треугольников AXB, CYD, AZD соответственно. Докажите, что точки Hx, Hy, Hz лежат на одной прямой.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 6 >> [Всего задач: 27]
Фильтр
