Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 >> [Всего задач: 27]
|
|
Сложность: 5+ Классы: 10,11
|
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.
|
|
Сложность: 4 Классы: 10,11
|
Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что QM ⊥ AC и PM ⊥ AB. Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что BH = CX.
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.
|
|
Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11
|
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Страница:
<< 1 2 3 4 5
6 >> [Всего задач: 27]