Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]

Задача 64926

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ясинский В.

На плоскости даны n (n > 2) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65020

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Ясинский В.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки C' и D' диаметрально противоположны точкам C и D соответственно. Касательные к окружности в точках C' и D' пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает стороны AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает стороны AD и BD в точках U и V. Докажите, что XV = YU.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65021

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Пусть A₂, B₂ – середины отрезков B₁C₁, A₁C₁ соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA₂ и PB₂ вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67562

Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Арутюнян С.

Восстановите вписанно-описанный четырехугольник $ABCD$ по центру $I$ вписанной окружности, точке $E$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $A$, $C$ и точке $F$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$, $D$.

Прислать комментарий Решение

Задача 73605

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Композиции проекций	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 38]