ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



Задача 64862

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Точка Лемуана ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Внутри треугольника BCD взяли точку La, расстояния от которой до сторон треугольника пропорциональны этим сторонам. Аналогично внутри треугольников ACD, ABD, ABC взяли точки Lb, Lc и Ld соответственно. Оказалось, что четырёхугольник LaLbLcLd вписанный. Докажите, что у ABCD есть две параллельные стороны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98601

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Окружности Ω1 и Ω2 пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая Ω1 и Ω2 в точках K и M соответственно. Прямая l1 касается Ω1 в точке Q и параллельна прямой AM. R – вторая точка пересечения прямой QA с Ω2. Докажите, что
  а) касательная l2, проведённая к Ω2 в точке R, параллельна AK.;
  б) прямые l1, l2 и K имеют общую точку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65248

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что  QMAC  и  PMAB.  Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что  BH = CX.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66246

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Точка Лемуана ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Радикальная ось ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC,  P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115900

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .