ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 2]      



Задача 73605

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Композиции проекций ]
[ Сжимающие отображения и неподвижные точки ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Пусть l1, l2, ..., ln несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X1, X2, ..., Xn так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой lk в точке Xk (для любого натурального k < n), проходил через точку Xk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямой ln в точке Xn, проходил через точку X1.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73714

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Итерации ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Признаки подобия ]
[ Сжимающие отображения и неподвижные точки ]
[ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T1 треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T2 – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T1; аналогично определим треугольники T3, T4 и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
  а) треугольник T1 был остроугольным?
  б) в последовательности T1, T2, T3, ... встретился прямоугольный треугольник Tn (и таким образом треугольник Tn+1 не определён)?
  в) треугольник T3 был подобен треугольнику T?
  г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник Tn подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 2]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .