Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 27]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 10,11
|
На плоскости даны n (n > 2) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?
|
|
Сложность: 4+ Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точки C' и D' диаметрально противоположны точкам C и D соответственно. Касательные к окружности в точках C' и D' пересекают прямую AB в точках E и F (A лежит между E и B, B – между A и F). Прямая EO пересекает стороны AC и BC в точках X и Y, а прямая FO пересекает стороны AD и BD в точках U и V. Докажите, что XV = YU.
|
|
Сложность: 5- Классы: 9,10,11
|
Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается его сторон AB, BC, CA в точках C1, A1, B1 соответственно. Пусть A2, B2 – середины отрезков B1C1, A1C1 соответственно, O – центр описанной окружности треугольника ABC, P – одна из точек пересечения прямой CO с вписанной окружностью. Прямые PA2 и PB2 вторично пересекают вписанную окружность в точках A' и B'. Докажите, что прямые AA' и BB' пересекаются на высоте треугольника, опущенной на AB.
|
|
Сложность: 7 Классы: 9,10,11
|
Пусть
l1,
l2, ...,
ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке
X1,
X2, ...,
Xn так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой
lk в точке
Xk (для любого натурального
k < n), проходил через точку
Xk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямой
ln в
точке Xn, проходил через
точку X1.
Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 27]