|
|
 |
Условие
Восстановите вписанно-описанный четырехугольник $ABCD$ по центру $I$ вписанной окружности, точке $E$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $A$, $C$ и точке $F$ пересечения касательных к описанной окружности в точках $B$, $D$.Решение
Докажем два утверждения.Лемма 1. $EI\parallel BD$, $FI\parallel AC$.
Доказательство. Будем считать, что $AB\geq AD$. Тогда $$ \angle AIC=\angle IAB+\angle ICB+\angle B=\frac{\pi}{2}+\angle B=\pi-\frac{\angle AEC}{2}, $$ следовательно, $E$ – центр окружности $AIC$ и $$ \angle(IE,AC)=\angle EIC+\angle ICA=\frac{\pi}{2}-\angle IAC+\angle ICA= $$ $$ =\frac{\pi}{2}-\frac{\angle BAC-\angle CAD}{2}+\frac{\angle BCA-\angle ACD}{2}=\frac{\smile BC+\smile AD}{2}=\angle(BD,AC). $$ Аналогично получаем, что $FI\parallel AC$.
Лемма 2. Пусть $AC$ и $BD$ пересекают $EF$ в точках $K$, $L$ соответственно. Тогда $\angle EIK=\angle FIL=\frac{\pi}2$.
Доказательство. Пусть $O$ – центр описанной окружности четырехугольника и прямая $OI$ пересекает $EF$ в точке $P$. Так как $EF$ – поляра точки пересечения диагоналей, лежащей на $OI$, то $EF\perp OI$ и $P$ лежит на окружности с диаметром $EI$, которая по лемме 1 касается окружности $AIC$. Кроме того, точки $A$, $C$, $P$ лежат на окружности с диаметром $OE$. Значит, $K$ – радикальный центр окружностей $ACE$, $IPE$, $AIC$ и $\angle EIK=\pi/2$. Аналогично $\angle FIL=\pi/2$.
Из доказанных лемм получаем следующее построение.
1. Проведем через $I$ прямые, перпендикулярные $EI$, $IF$, и отметим точки $K$, $L$.
2. Проведем через $K$, $L$ прямые $k$, $\ell$, параллельные $IF$, $IE$ соответственно.
3. Построим ортоцентр $O$ треугольника $IEF$ и окружность с диаметром $OE$, она пересечет прямую $k$ в точках $A$ и $C$. Точки $B$ и $D$ строятся аналогично.
