ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 67245

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67224

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Произвольная окружность, проходящая через точки $C$ и $D$, пересекает прямые $AC$, $BC$ в точках $X$, $Y$ соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей $CAY$ и $CBX$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67249

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$, точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$. Найдите ГМТ $A_2$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64886

Темы:   [ Проективная геометрия (прочее) ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Касающиеся сферы и инверсия ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 11

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A1 – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A1, B, C и D тригармоническая. Точки B1, C1 и D1 определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C1, D1 лежат на одной окружности;
  б) точки A1, B1, C1, D1 образуют тригармоническую четвёрку.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65382

Темы:   [ Четырехугольная пирамида ]
[ Сфера, описанная около пирамиды ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .