Предположим, что имеется набор функций  f₁(x), ...,  f_n(x), определённых на отрезке  [a, b].  Докажите неравенство:

   Решение

По кругу записывают 2015 натуральных чисел так, чтобы каждые два соседних числа различались на их наибольший общий делитель.
Найдите наибольшее натуральное N, на которое гарантированно будет делиться произведение этих 2015 чисел.

   Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

+ + 3.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.

Прислать комментарий

Решение

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Произвольная окружность, проходящая через точки $C$ и $D$, пересекает прямые $AC$, $BC$ в точках $X$, $Y$ соответственно. Найдите ГМТ пересечения окружностей $CAY$ и $CBX$.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости провели несколько окружностей и отметили все точки их пересечения или касания. Может ли оказаться, что на каждой окружности лежат ровно пять отмеченных точек, а через каждую отмеченную точку проходят ровно пять окружностей?

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]