Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 67538 (#16 [9-11 кл])

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67539 (#17 [9-11 кл])

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Формула Эйлера	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Пучков П., Уткин Е.

Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$; $D$, $E$, $F$ – точки касания его вневписанной окружности со стороной $BC$ и продолжениями сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что если ортоцентр треугольника $DEF$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то он симметричен середине дуги $BC$ относительно прямой $OI$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67540 (#18 [9-11 кл])

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кухарчук И.

Дан четырехугольник $ABCD$. Вневписанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$ и $BCD$, касающиеся сторон $AB$ и $BD$ соответственно, касаются продолжения стороны $BC$ в общей точке $P$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_1$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что один из углов $RPQ$ и $SPQ$ прямой.

Прислать комментарий Решение

Задача 67541 (#19 [10-11 кл])

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов С.

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $A'$, $B'$, $C'$ – ортоцентры треугольников $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_a$, $M_b$, $M_c$ – середины $BC$, $CA$, $AB$, а $S_a$, $S_b$, $S_c$ – середины $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что $M_aS_a$, $M_bS_b$, $M_cS_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 67542 (#20 [10-11 кл])

Темы:	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$, а $M$ и $N$ – середины $BC$ и $AH$ соответственно. Перпендикуляр из $N$ к прямой $MH$ пересекает $BC$ в точке $A'$. Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]