Условие
Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$, а $M$ и $N$ – середины $BC$ и $AH$ соответственно. Перпендикуляр из $N$ к прямой $MH$ пересекает $BC$ в точке $A'$. Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной прямой.
Решение
Так как $MN$ – диаметр окружности девяти точек, проекция $N$ на $MH$ лежит на этой окружности. Поэтому $A'$ лежит на поляре $H$ относительно окружности девяти точек. Точки $B'$, $C'$ также лежат на этой прямой.
Источники и прецеденты использования
