Условие
Пусть $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$; $D$, $E$, $F$ – точки касания его вневписанной окружности со стороной $BC$ и продолжениями сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Докажите, что если ортоцентр треугольника $DEF$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$, то он симметричен середине дуги $BC$ относительно прямой $OI$.
Решение
Пусть $D'$, $E'$, $F'$ – вторые точки пересечения высот треугольника $DEF$ с его описанной окружностью. Тогда высоты являются биссектрисами углов треугольника $D'E'F'$ (внутренней и двумя внешними) и, значит, параллельны соответствующим биссектрисам углов треугольника $ABC$. Поэтому стороны этих треугольников также параллельны, т.е. треугольники гомотетичны. При этой гомотетии $O$ и центр $I_A$ вневписанной окружности переходят в $I_A$ и ортоцентр $H$ треугольника $DEF$ соответственно, следовательно, $H$ лежит на прямой $I_AO$ и $I_AH : OI_A = r_A : R$. Отсюда и из равенств $OI_A^2 = R^2 + 2Rr_A$, $OH = R$ получаем, что $OI_A = 2R$. Кроме того, известно, что середина $W$ дуги $BC$ делит пополам отрезок $II_A$. Поскольку средняя линия $WM$ треугольника $OII_A$ перпендикулярна $HW$, то и $OI \perp HW$, что равносильно утверждению задачи.
Источники и прецеденты использования
