Условие
Дан четырехугольник $ABCD$. Вневписанные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ треугольников $ABC$ и $BCD$, касающиеся сторон $AB$ и $BD$ соответственно, касаются продолжения стороны $BC$ в общей точке $P$. Отрезок $AD$ пересекает $\omega_2$ в точке $Q$, а прямая $AD$ пересекает $\omega_1$ в точках $R$ и $S$. Докажите, что один из углов $RPQ$ и $SPQ$ прямой.
Решение
Утверждение задачи равносильно тому, что $AD$ проходит через центр
гомотетии с отрицательным коэффициентом переводящей $\omega_1$ в $\omega_2$. Пусть $\omega_1$ касается $BA$ в $E$, а $AC$ в $G$. Пусть также $\omega_2$ касается $BD$ в $F$, а $CD$ в $L$. Тогда из теорем Менелая для треугольника $ABD$ и прямой $EF$, а также треугольника $ACD$ и прямой $GL$ следует, что $EF$ и $GL$ пересекаются на $AD$, но, с другой стороны, на $EF$ лежит центр гомотетии с отрицательным коэффициентом, поскольку $EF$ пересекает $\omega_1$ вторично в точке, касательная в которой параллельна $BD$.
Аналогично c $GL$.
Источники и прецеденты использования
