Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67533  (#11 [8-10 кл])

Темы:   [ Точка Торричелли ] [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Через точку $X$ проведены три луча, образующие друг с другом углы, равные $120^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $R$ выбирается произвольным образом так, чтобы точка $X$ лежала внутри неё. Пусть $A$, $B$, $C$ – точки пересечения лучей с окружностью. Найдите $\max(XA + XB + XC)$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67534  (#12 [8-10 кл])

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны окружности $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $M$ – середина отрезка, соединяющего их центры. На $\omega_1$ выбрана точка $X$, а на $\omega_2$ – точка $Y$ так, что $MX = MY$. Найдите геометрическое место середин отрезков $XY$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67535  (#13 [8-11 кл])

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Многоугольники (экстремальные свойства) ] [ Параллелограммы (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый $2n$-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при движении от одной к другой по контуру $2n$-угольника нужно пройти $n - 1$ других сторон.) Пару противоположных сторон назовём правильной, если у них есть общий перпендикуляр, концы которого принадлежат самим сторонам, а не их продолжениям. Каково наименьшее возможное количество правильных пар?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67536  (#14 [9-11 кл])

Темы:   [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На биссектрисе угла $B$ внутри треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ – окружности, касающиеся прямых $AD$ и $CD$ в точке $D$ и проходящие через точку $B$; $P$ и $Q$ – отличные от $B$ точки пересечения $\omega_1$ и $\omega_2$ с описанной окружностью $ABC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PQD$ и $ACD$ касаются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67537  (#15 [9-11 кл])

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Точка $C$ лежит на биссектрисе острого угла с вершиной $S$. Точки $P$, $Q$ – проекции $C$ на стороны угла. Окружность с центром $C$ и радиусом $PQ$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, причем $SA \ne SB$. Докажите, что окружность с центром $A$, касающаяся $SB$, и окружность с центром $B$, касающаяся $SA$, касаются друг друга.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями