Условие
Дан выпуклый $2n$-угольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны друг другу. (Стороны противоположны, если при
движении от одной к другой по контуру $2n$-угольника нужно пройти $n - 1$ других
сторон.) Пару противоположных сторон назовём правильной, если у них есть общий
перпендикуляр, концы которого принадлежат самим сторонам, а не их продолжениям. Каково наименьшее возможное количество правильных пар?
Решение
Пример. Возьмем параллелограмм $ABCD$, у которого проекция отрезка $BC$ на
прямую $AD$ не пересекается с отрезком $AD$. Выберем на сторонах $AB$, $BC$ точки $B_1$, $B_2$, а на сторонах $CD$, $AD$ точки $D_1$, $D_2$ так, что $B_1B_2 \parallel D_1D_2$ и проекции отрезков $B_1B_2$, $D_1D_2$ на параллельную им прямую не пересекаются.
Аналогично выберем по точке на отрезках $B_1B_2$, $B_2C$, $D_1D_2$, $D_2A$ и т.д. В результате получим $2n$-угольник, в котором единственной правильной парой будет пара $AB_1$, $CD_1$.
Оценка. Пусть $A_{2n}A_1$, $A_nA_{n+1}$ – пара сторон, расстояние между которыми минимально. Предположим, что проекции этих сторон на параллельную им прямую не пересекаются. Тогда можно считать, что $\angle A_{2n-1}A_{2n}A_1 > \pi/2$. Продлим стороны $A_{2n-1}A_{2n}$, $A_{n-1}A_n$ до пересечения с прямыми $A_nA_{n+1}$, $A_{2n}A_1$ соответственно в точках $B$, $C$. Перпендикуляр, опущенный из $A_{2n}$ на прямую $A_nB$, пересекает сторону $A_nC$ параллелограмма $A_{2n}CA_nB$, следовательно, расстояние от $A_{2n}$ до $A_nB$ больше, чем до $A_nC$, что противоречит выбору пары $A_{2n}A_1$, $A_nA_{n+1}$.
Ответ
1.
Источники и прецеденты использования
