Условие
На биссектрисе угла $B$ внутри треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ – окружности, касающиеся прямых $AD$ и $CD$ в точке $D$ и проходящие через точку $B$; $P$ и $Q$ – отличные от $B$ точки пересечения $\omega_1$ и $\omega_2$ с описанной окружностью $ABC$. Докажите, что описанные окружности треугольников $PQD$ и $ACD$ касаются.
Решение
Сделаем инверсию с центром $D$ и радиусом $DB$, пусть $A'$, $C'$, $P'$, $Q'$ – образы точек $A$, $C$, $P$, $Q$ соответственно. Тогда
$$\angle DC'B = \angle CBD = \angle ABD = \angle DA'B.$$
Кроме того, окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ переходят в прямые, проходящие через $B$ и параллельные $A'D$, $C'D$ соответственно. Следовательно, $\angle P'BA' = \angle Q'BC'$ и $A'P'Q'C'$ – равнобокая трапеция. При обратной инверсии параллельные прямые $P'Q'$ и $A'C'$ перейдут в окружности, касающиеся в точке $D$.
Источники и прецеденты использования
