Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
>>
XXI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2025 г.)
>>
8 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено $\angle ABD=\angle ACD=90^{\circ}$. Окружности с диаметрами $AB$ и $CD$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что $2PQ < AD$.
В треугольнике $ABC$ $CH$ – высота, $CA'$, $CB'$ – биссектрисы треугольников $CBH$, $CAH$ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $CA'B'$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$ тогда и только тогда, когда $\angle ACB=90^{\circ}$.
Дан вписанный пятиугольник $ABCDE$. Диагонали $AC$ и $CE$ равны и пересекают диагональ $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BM=ND$, $BC\not=CD$. Докажите, что точка, симметричная $C$ относительно середины $BD$, лежит на прямой $AE$.
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим через $B_0$ середину дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей $B$. Описанные окружности треугольников $AA_1B_0$ и $CC_1B_0$ пересекают прямые $BC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что инцентр $\triangle ABC$ лежит на $PQ$.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 67551 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67552 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67548 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67547 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67550 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
