Задача 67551
|
|
 |
Условие
В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до биссектрисы острого равно четверти гипотенузы. Чему могут равняться углы треугольника?Решение
Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ треугольника $ABC$, а $L$ – точка, симметричная $C$ относительно биссектрисы угла $A$. Тогда $CL=AB/2=CM$ и возможны два случая.1. Точки $M$ и $L$ совпадают. Тогда в треугольнике $ACM$ биссектриса угла $A$ совпадает с высотой, следовательно, $AC=AM=CM$ и $\angle A=60^{\circ}$.
2. Точки $M$ и $L$ различны. Тогда $AC=AL$ и $LC=CM=MA$. Следовательно, $\angle ALC=\angle LMC=2\angle A$. С другой стороны, $2\angle ALC+\angle A=180^{\circ}$. Значит, $\angle A=36^{\circ}$.
