Условие
В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$ и $CC_1$. Обозначим через $B_0$ середину дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, не содержащей $B$. Описанные окружности треугольников $AA_1B_0$ и $CC_1B_0$ пересекают прямые $BC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что инцентр $\triangle ABC$ лежит на $PQ$.
Решение 1
Пусть прямая, проходящая через $I$ и параллельная $AC$, пересекает $BC$ в точке $P'$. Тогда $\angle P'IC=\angle ICA=\angle ICP'$, следовательно, $IP'=P'C$. С другой стороны, $IB_0=B_0C$, значит, треугольники $P'IB_0$ и $P'CB_0$ равны, т.е. $$\angle B_0P'C=(180^{\circ}-\angle C)/2=\angle IAB_0=\angle CPB_0,$$
и точка $P'$ совпадает с $P$. Аналогично получаем, что $IQ\parallel AC$.
Решение 2
Пусть точки $A_0$, $C_0$ – середины дуг $BC$, $AB$; $P'$ – точка пересечения прямых $A_0B_0$ и $BC$. Четырехугольник $AA_1P'B_0$ – вписанный, поскольку $\angle AB_0A_0=\angle BA_1A$, значит $P'$ совпадает с $P$. Аналогично $Q$ лежит на $B_0C_0$. Теперь утверждение задачи следует из
теоремы Паскаля для $ABCC_0B_0A_0$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
8 |
|
задача |
|
Номер |
8.4 |
