Условие
Через точку $X$ проведены три луча, образующие друг с другом
углы, равные $120^\circ$. Окружность $\omega$ радиуса $R$ выбирается произвольным образом так, чтобы точка $X$ лежала внутри неё. Пусть $A$, $B$, $C$ – точки пересечения лучей с окружностью. Найдите $\max(XA + XB + XC)$.
Решение
Из условия следует, что $X$ –
точка Торричелли треугольника $ABC$. Следовательно,
$$XA + XB + XC \leq OA + OB + OC = 3R,$$
где $O$ – центр окружности $\omega$. Равенство достигается, когда $O$ совпадает с $X$.
Источники и прецеденты использования
