Условие
Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $A'$, $B'$, $C'$ – ортоцентры треугольников $BIC$, $AIC$, $AIB$; $M_a$, $M_b$, $M_c$ – середины $BC$, $CA$, $AB$, а $S_a$, $S_b$, $S_c$ – середины $AA'$, $BB'$, $CC'$. Докажите, что $M_aS_a$, $M_bS_b$, $M_cS_c$ пересекаются в одной точке.
Решение
Точка, симметричная $C'$ относительно $M_c$, диаметрально противоположна $I$ на окружности $IAB$, т.е. совпадает с центром $I_C$ вневписанной окружности треугольника $ABC$. Поэтому прямая $S_cM_c$ как средняя линия треугольника $C'II_C$ параллельна $CI$ и проходит через центр вписанной окружности треугольника $M_aM_bM_c$. Две другие прямые также проходят через эту точку.
Источники и прецеденты использования
