Условие
Точка Фейербаха неравнобедренного треугольника лежит на биссектрисе одного из его углов. Докажите, что она делит пополам отрезок между вершиной этого угла и центром вписанной окружности.
Решение 1
Пусть точка Фейербаха $F$ треугольника $ABC$ лежит на биссектрисе угла $C$. Тогда на этой же биссектрисе лежит и центр $E$ окружности девяти точек, являющийся серединой отрезка между ортоцентром $H$ и центром описанной окружности $O$. При этом $CE$ – биссектриса угла $OCH$, следовательно точки $O$ и $H$ симметричны относительно биссектрисы и $CO = CH = 2 \,CO \, |\cos\angle C|$, т.е. угол $C$ равен $\pi/3$ или $2\pi/3$. Но во втором случае точки $O$ и $H$ симметричны относительно внешней, а не внутренней биссектрисы угла $C$. Таким образом, $\angle C = \pi/3$ и $CF = r = CI \, \sin (\angle C/2) = CI/2$.
Решение 2
Точка $F$ является центром равносторонней гиперболы, проходящей через $A$, $B$, $C$, $I$. Так как прямая $CI$ проходит через центр гиперболы, точки $C$ и $I$ симметричны относительно $F$.
Замечания
Точка Фейербаха – точка касания вписанной окружности к окружности девяти точек треугольника (см. задачу
58348).
Источники и прецеденты использования
