ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      



Задача 66173

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

a) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1. Докажите, что удастся зачеркнуть одно число так, чтобы произведение оставшихся можно было представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел.

б) Написаны 2007 натуральных чисел, больших 1, одно из которых равно 2006. Оказалось, что есть только одно такое число среди написанных, что произведение оставшихся представляется в виде разности квадратов двух натуральных чисел. Докажите, что это число – 2006.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66175

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На какое наибольшее число равных невыпуклых многоугольников можно разрезать квадрат так, чтобы все стороны многоугольников были параллельны сторонам квадрата и никакие два из этих многоугольников не получались друг из друга параллельным переносом?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66176

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Объем помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор, пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему будет в этот в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66177

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Перпендикулярные прямые ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Дан описанный четырёхугольник. Точки касания его вписанной окружности со сторонами последовательно соединены отрезками. В получившиеся треугольники вписаны окружности. Докажите, что диагонали четырёхугольника с вершинами в центрах этих окружностей взаимно перпендикулярны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66178

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .