Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 242]

Задача 32038

Темы:	[	Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы.	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых? Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.

Решение

Пример требуемого расположения приведен на рисунке:

Ответ

Да, можно.

Прислать комментарий

Задача 32041

Тема:

[

Принцип Дирихле (прочее)

]

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Решение

Чему может равняться возраст каждого из туристов? Очевидно, одному из чисел: 20, 21, 22, ..., 35 (всего 16 вариантов). Поэтому, если предположить, что возраст любых двух туристов различен, то в группе не больше 16 человек. Но по условию задачи их 20. Значит, в группе обязательно есть одногодки.

Прислать комментарий

Задача 32050

Тема:

[

Турниры и турнирные таблицы

]

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?

Решение

После каждого боя из соревнований выбывает один боксер — проигравший в этом бою. Поскольку всего к концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 49 боев, независимо от того, как составляется расписание.

Прислать комментарий

Задача 32062

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

Решение

Передача информации может быть осуществлена следующим образом. Рассмотрим некоторых четверых людей в компании — назовем их A, B, C, D. Пусть сначала все члены компании, кроме B, C и D звонят A и сообщают ему свои новости. Это потребует k – 4 звонка. Затем между собой говорят A и B, а также C и D. После этого A говорит с C, а B с D, в результате чего все четверо будут знать все новости. За оставшиеся 2n – 4 звонка A сообщает их всем остальным.

Прислать комментарий

Задача 88245

Темы:	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
Темы:	[	Текстовые задачи (прочее)	]

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 л больше, чем во втором, а после переливания 26 л из первого бака в третий в третьем баке стало столько же бензина, сколько во втором?

Подсказка

Заметьте, если бы такое переливание было возможно, то во втором баке должно было быть больше чем 26 л бензина.

Решение

Из второго условия задачи следует, что в каждом из двух баков – первом и втором должно быть не меньше 26 л бензина. Действительно, поскольку из первого бака можно перелить 26 л, то, очевидно, изначально в нем должно было быть не меньше 26 л. Кроме того, после такого переливания в третьем баке будет не меньше 26 л, а по условию это столько же, сколько во втором. Поэтому общий объем бензина в первых двух баках должен быть не меньше 52 л. Поэтому даже одного второго условия достаточно, чтобы утверждать, что такой разлив осуществить невозможно.

Ответ

Нет.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 242]