Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 63]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство
$$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Существует ли такой многочлен f(x) степени 6, что для любого x выполнено равенство f(sinx) + f(cosx) = 1?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Исходно на доске написаны многочлены x³ – 3x² + 5 и x² – 4x. Если на доске уже написаны многочлены f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены f(x) ± g(x), f(x)g(x), f(g(x)) и cf(x), где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида xn – 1 (при натуральном n)?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение
х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0 имеет четыре различных действительных корня?
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 63]
Фильтр
