|
|
 |
Условие
Существует ли такой многочлен f(x) степени 6, что для любого x выполнено равенство f(sinx) + f(cosx) = 1?
Решение
Пример 1. f(x) = (4x³ – 3x)². Действительно, f(sin x) + f(cos x) = sin²3x + cos²3x = 1.
Пример 2. f(x) = – 2x6 + 3x4. Действительно, f(sinx) + f(cosx) = – 2 sin6x + 3 sin4x – 2 cos6x + 3 cos4x =
= – 2(sin6x + cos6x) + 3(sin4x + cos4x) = – 2(sin²x + cos²x)(sin4x – sin²x cos²x + cos4x) + 3((sin²x + cos²x)² – 2 sin²x cos²x) =
= – 2(1 – 3 sin²x cos²x) + 3(1 – 2 sin²x cos²x) = 1.
Ответ
Существует.
Замечания
Получить пример 2 можно так: запишем основное тригонометрическое тождество, возведём обе его части в куб, а затем разобьём левую часть полученного равенства на такие две части, чтобы одну из другой можно было получить заменой sin x на cos x. Подробнее:
(sin²x + cos²x)³ = 1 ⇔ sin6x + 3 sin4x cos²x + 3 sin²x cos4 x + cos6x = 1 ⇔
⇔ sin6x + 3 sin4x(1 – sin²x) + 3(1 – cos²x)cos4x + cos6x = 1 ⇔ (– 2 sin6x + 3 sin4x) + (– 2 cos6x + 3 cos4x) = 1.
