Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 66]      

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х⁴ – 4х³ + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Прислать комментарий

Решение

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если  |x₁| > |x₂|?

Прислать комментарий

Решение

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?

Прислать комментарий

Решение

Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий – в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 66]