Задача 64413

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Пусть  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|,  ...,  |3¹ – P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

Решение

Пусть все эти числа меньше 1, то есть равны нулю. Тогда  P(k) = 3^k  при  k = 0, ..., n + 1.  Значит,  ΔP(k) = 3^k+1 – 3^k = 2·3^k = 2P(k)  при
k = 0, ..., n.  Следовательно,  Δ²P(k) = 2ΔP(k) = 2²P(k)  при  k = 0, ..., n  – 1,  Δ³P(k) = 2³P(k)  при  k = 0, ..., n – 2,  ...,
Δⁿ⁺¹P(0) = 2ⁿ⁺¹P(0) = 2ⁿ⁺¹.  Однако  Δⁿ⁺¹P ≡ 0  (см. задачу 61437). Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	6
Название	Интерполяционный многочлен Лагранжа
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.139