Задача 61434

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что для любого многочлена P(x) степени m существует единственный многочлен Q(x) степени  m + 1 , для которого  ΔQ(x) = P(x)  и  Q(0) = 0.

Решение

  Индукция по m. База. Для многочлена  P(x) = a  степени 0  Q(x) = ax.
  Шаг индукции. Пусть  P(x) = (m + 1)ax^m + f(x),  Δx^m+1 = (m + 1)x^m + g(x),  где f, g – многочлены степени не выше  m – 1.  По предположению индукции найдётся такой многочлен степени не выше m, что  Δh(x) = f(x) – ag(x).  Положим  Q(x) = x^m+1 + h(x).  Тогда
ΔQ(x) = (m + 1)ax^m + ag(x) + Δh(x) = (m + 1)ax^m + f(x) = P(x).
  Пусть нашелся второй многочлен Q₁(x), также удовлетворяющий условиям. Тогда  Δ(Q – Q₁)(x) = 0.  Согласно задаче 61433 многочлен  Q – Q₁  имеет степень не выше 0. А так как в нуле он обращается в нуль, то он равен нулю.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	1
Название	Конечные разности
Тема	Последовательности (прочее)
задача
Номер	11.007