|
|
 |
Условие
Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение f(x) = a при любом значении a имеет чётное число решений?
Решение
Проведём к графику у = f(x) все горизонтальные касательные синим карандашом (если таких касательных нет, то, очевидно, функция монотонна, и уравнение f(x) = 0 имеет одно решение). Их количество конечно (оно равно числу корней производной). Между каждыми двумя соседними синими прямыми, а также выше верхней и ниже нижней проведём по красной горизонтальной прямой. Синие точки (точки пересечения и касания синих прямых с графиком) разделяют график на конечное число участков монотонности, при этом на каждом участке есть ровно одна красная точка. Поэтому на графике красных точек на одну больше, чем синих, и общее число цветных точек нечётно. Значит, на одной из "цветных" прямых лежит нечётное число точек графика.
Ответ
Не может.
Замечания
1. 5 баллов.
2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2007, №3, М2044).
