ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Тригонометрия >> Тригонометрия (прочее)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите признак равенства треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу.

Вниз   Решение

Даны окружность, две точки P и Q этой окружности и прямая. Найдите на окружности такую точку M, чтобы прямые MP и MQ отсекали на данной прямой отрезок AB данной величины.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что касательные к окружности, проведённые через концы диаметра, параллельны.

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC выбрана произвольная точка X . Лучи AX , BX и CX пересекают описанную около треугольника ABC окружность в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Точка A2 симметрична точке A1 относительно середины стороны BC . Аналогично определяются точки B2 и C2 . Докажите, что найдётся такая фиксированная точка Y , не зависящая от выбора X , что точки Y , A2 , B2 и C2 лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

На координатной плоскости нарисованы четыре графика функций вида  y = x² + ax + b,  где a, b – числовые коэффициенты. Известно, что есть ровно четыре точки пересечения, причём в каждой пересекаются ровно два графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс точек пересечения равна сумме двух других абсцисс.

ВверхВниз   Решение

Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1. Докажите, что существуют числа $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ такие, что $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$ и выполняются равенства

x = tg $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{2}}$,y = tg $\displaystyle {\dfrac{\beta}{2}}$, z = tg $\displaystyle {\dfrac{\gamma}{2}}$.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

  с решениями  

Задача 66596

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Функции. Непрерывность (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Горяшин Д.В.

Существует ли функция $f$, определенная на отрезке $[-1;1]$, которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству $$ 2f(\cos x)=f(\sin x)+\sin x?$$
Прислать комментарий     Решение

Задача 67195

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Производная и касательная ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Авторы: Мерзон Г.А., Клепцын В.А.

К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a \tan x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\neq0$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 61109

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Многочлены Чебышева ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа  x = cos α  получаются значения

 

Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число  x = sin α?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61200

Тема:   [ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите равенство:

cos$\displaystyle {\frac{\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{3\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{4\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{5\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{6\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{7\pi}{15}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{7}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 35252

Темы:   [ Тригонометрия (прочее) ]
[ Стереометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

На листе бумаги нарисован график функции y = sin x. Лист свернут в цилиндрическую трубочку так, что все точки, абсциссы которых отличаются на 2п, совмещены. Докажите, что все точки графика синусоиды при этом лежат в одной плоскости.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .