ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61099
Темы:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
[ Многочлены Чебышева ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
Название задачи: Многочлены Чебышева.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Используя формулу Муавра, докажите, что  cos nx = Tn(cos x),  sin nx = sin x Un–1(cos x),  где Tn(z) и Un(z) – многочлены степени n.
При этом по определению  U0(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для  n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

  Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.


Решение

  а)    
         
Заменив везде sin2φ на  1 – cos 2φ,  получим доказываемо утверждение.

  б)  cos 4φ = 2cos22φ – 1 = 2(2cos2φ – 1)2 – 1 = 8cos4φ – 8cos2φ + 1.
  cos 5φ = cos5φ – 10cos3φ sin2φ + 5cos φ sin4φ = cos5φ – 10cos3φ(1 – cos2φ) + 5cos φ (1 – cos2φ)2 = 16cos5φ – 20cos3φ + 5cos φ.
  sin 3φ = 3sin φ – 4sin3φ = sin φ (3 – 4 + 4 cos2φ) = sin φ (4cos2φ – 1).
  sin 4φ = 2cos 2φ sin 2φ = 4(2cos2φ – 1) cos φ sin φ = sin φ (8 cos3φ – 4cos φ).
  sin 5φ = 5cos4φ sin φ – 10cos2φ sin3φ + sin5φ = sin φ (5cos4φ – 10cos2φ(1 – cos2φ) + (1 – cos2φ)2) = sin φ (16cos4φ – 12cos2φ + 1).
  sin 6φ = 2sin 3φ cos 3φ = 2sin φ (4cos2φ – 1)(4 cos3φ – 3cos φ) = 2sin φ(16cos5φ – 16cos3φ sin2φ + 3cos φ).
  Таким образом,  T4(z) = 8z4 – 8z2 + 1,  T5(z) = 16z5 – 20z3 + 5z,
U2(z) = 4z2 – 1,  U3(z) = 8z3 – 4zU4(z) = 16z4 – 12z2 + 1,  U5(z) = 32z5– 32z3 + 6z.


Ответ

T0(z) = 1,  T1(z) = zT2(z) = z – 1,  T3(z) = 4z2 – 3zT4(z) = 8z4 – 8z2 + 1,  T5(z) = 16z5 – 20z3 + 5z,
U1(z) = 2zU2(z) = 4z2 – 1,  U3(z) = 8z3 – 4zU4(z) = 16z4 – 12z2 + 1,  U5(z) = 32z5– 32z3 + 6z.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.035

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .