Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]

Задача 61290

Тема:

[

Тригонометрия (прочее)

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Числа x, y и z удовлетворяют соотношению xy + yz + xz = 1. Докажите, что существуют числа $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ такие, что $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ = $\pi$ и выполняются равенства

x = tg $\displaystyle {\dfrac{\alpha}{2}}$ ,y = tg $\displaystyle {\dfrac{\beta}{2}}$ , z = tg $\displaystyle {\dfrac{\gamma}{2}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61102

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что cos α° = ¹/₃. Является ли α рациональным числом?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61103

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Многочлены Чебышева	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если ^p/_q рационально и cos (^p/_q)° ≠ 0, ±½, ±1, то
cos (^p/_q)° – число иррациональное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61105

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрическая форма. Формула Муавра	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Известно, что sin α = ³/₅. Докажите, что sin 25α имеет вид ⁿ/_5²⁵, где n – целое, не делящееся на 5.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61104

Тема:

[

Тригонометрия (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что

cosⁿx = $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ a_kcos kx, sinⁿx = sin x $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n-1}$ b_ksin kx,

где a₀,..., a_n, b₀,..., b_{n - 1} —рациональные числа. Найдите эти представления в явном виде для n = 2, 3, 4, 5. Выразите sinⁿx при четном n в виде sinⁿx = $\sum\limits_{k=0}^{n}$ c_kcos kx, а при нечетном — в виде sinⁿx = $\sum\limits_{k=0}^{n}$ d_ksin kx.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]