Задача 61102

Темы:    [ Тригонометрия (прочее) ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлены Чебышева ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Известно, что  cos α° = ¹/₃.  Является ли α рациональным числом?

Решение

Пусть  α = ^m/_n.  Тогда  cos(360°nα) = 1.  Так как  cos(360°nα) = T_360n(cos α°}  (определение многочленов Чебышева смотри в задаче 61099), то многочлен  T_360n(x) – 1  обращается в ноль при  x = cos α° = ¹/₃.  Значит многочлен  f(x) = 2T_360n(^x/₂) – 2  имеет корнем число ²/₃. Согласно задаче 61101,  f(x) – приведённый многочлен с целыми коэффициентами. Но по теореме о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013)  f(x) может иметь только целые корни.

Ответ

Не является.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.038