ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



Задача 116601

Темы:   [ Тригонометрический круг ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций  y = sin axy = sin bx  и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции  y = sin cx  проходит через все отмеченные точки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61275

 [Метод Виета]
Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Когда  4p³ + 27q² < 0,  уравнение  x³ + px + q = 0  имеет три действительных корня (неприводимый случай кубического уравнения), но для того, чтобы их найти по формуле Кардано, необходимо использование комплексных чисел. Однако можно указать все три корня в явном виде через тригонометрические функции.
  а) Докажите, что при  p < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = kt  сводится к уравнению  4t³ – 3t – r = 0   (*)  от переменной t.
  б) Докажите, что при  4p³ + 27q² ≤ 0  решениями уравнения (*) будут числа  t1 = cos,   t2 = cos,   t3 = cos,  где  φ = arccos r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61279

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что при  4p³ + 27q² < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = αy + β  сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0    (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа   y1 = tg ,   y2 = tg ,   y3 = tg ,   где φ определяется из условий:
sin φ = ,   cos φ = .

Прислать комментарий     Решение

Задача 61286

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Последовательность чисел {hn} задана условиями:

h1 = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$,        hn + 1 = $\displaystyle \sqrt{\dfrac{1-\sqrt{1-h_n^2}}2}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


Докажите неравенство $ \sum\limits_{k=1}^{\infty}$hk < 1, 03.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61447

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

При помощи преобразования Абеля вычислите следующие суммы:
а) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k2qk - 1;
б) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k sin kx;
в) $ \sum\limits_{k=1}^{n}$k2cos kx.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .