ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61279
Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что при  4p³ + 27q² < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = αy + β  сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0    (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа   y1 = tg ,   y2 = tg ,   y3 = tg ,   где φ определяется из условий:
sin φ = ,   cos φ = .


Решение

  а) После замены мы получим уравнение  α³y³ + 3α²βy² + α(3β² + p)y + β³ + pβ + q = 0.  Должны выполняться условия  3β² + p = – 3α²  и
α²β = – β³ – pβ – q,  откуда  3β³ + 3pβ + 3q = 3β³ + pβ,  

  б)     В силу формулы     при подстановке в уравнение любого из чисел y1, y2, y3 получаем верное равенство.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 1
Название Уравнения третьей степени
Тема Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер 09.028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .