Условие
На листе бумаги нарисован график функции y = sin x. Лист свернут
в цилиндрическую трубочку так, что все точки, абсциссы которых
отличаются на 2п, совмещены. Докажите, что все точки графика
синусоиды при этом лежат в одной плоскости.
Подсказка
Введите подходящую систему координат в трехмерном пространстве.
Решение
Для того, чтобы свернуть лист в цилиндр так,
чтобы все точки, абсциссы которых отличаются на 2п, были совмещены,
достаточно добиться совмещения точек с абсциссами x=0 и x=2п.
Очевидно, что тогда радиус основания цилиндра равен единице, т.к.
длина окружности основания равна 2п.
Чтобы показать,что все точки графика лежат в одной плоскости,
введем в пространстве систему координат Ouvz следующим образом: ось
Oz направим вдоль оси цилиндра, а оси Ou и Ov проведем в плоскости,
перпендикулярной оси цилиндра так, чтобы ось Ou проходила через
точку цилиндра, имевшую координаты (0;0) до свертывания листа.
Рассмотрим некоторую точку A(u,v) на окружности
{z=0; u
2+v
2=1}, являющейся сечением
цилиндра плоскостью z=0.
Пусть x - угол между положительным направлением оси Ou и
радиусом OA (x может принимать значение от 0 до 2п).
Тогда после свертывания листа в цилиндр точка (u, v, sin x)
лежит на синусоиде и все точки свернутой синусоиды представимы
в таком виде.
Так как tg x = v/u, то
sin x = v/(u
2+v
2)
1/2 = v.
Отсюда видно, что точки вида (u, v, sin x) на самом деле имеют вид
(u, v, v), и, следовательно,
лежат в плоскости z=v.
Источники и прецеденты использования
