ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 50]      



Задача 66692

Тема:   [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате $4\times4$ расставили целые числа так, что в каждом из восьми рядов (строках и столбцах) сумма чисел одна и та же. Семь чисел известны, а остальные скрыты (см. рисунок). Можно ли по имеющимся данным восстановить
а) хотя бы одно скрытое число;
б) хотя бы два скрытых числа?

Прислать комментарий     Решение


Задача 66693

Тема:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

На плоскости отметили 30 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и провели семь красных прямых, не проходящих через отмеченные точки. Могло ли случиться, что каждый отрезок, соединяющий какие-то две отмеченные точки, пересекается хоть с одной красной прямой?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66694

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Даны три натуральных числа. Каждое из данных чисел делится на наибольший общий делитель остальных двух. Наименьшее общее кратное каждых двух из данных чисел делится на оставшееся третье. Обязательно ли все три числа равны?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66698

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В углу шахматной доски $8\times8$ стоит фишка. Петя и Вася двигают фишку по очереди, начинает Петя. Он делает фишкой один ход как ферзём (пройденной считается только клетка, куда в итоге переместилась фишка), а Вася – два хода как королём (обе клетки считаются пройденными). Нельзя ставить фишку на клетку, где она уже бывала (включая исходную клетку). Кто не сможет сделать ход – проигрывает. Кто из ребят может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66699

Тема:   [ Раскраски ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет. Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 50]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .