ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 66336  (#1)

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ..., 100, ключи тоже, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более
а) 99 попыток;
б) 75 попыток;
в) 74 попыток.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66341  (#2)

Тема:   [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан правильный шестиугольник с центром $O$. Провели шесть равных окружностей с центрами в вершинах шестиугольника так, что точка $O$ находится внутри окружностей. Угол величины α с вершиной $O$ высекает на этих окружностях шесть дуг. Докажите, что суммарная величина этих дуг равна 6α
Прислать комментарий     Решение


Задача 66342  (#3)

Тема:   [ Задачи на проценты и отношения ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь, ..., на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (то есть, если он предсказывал, что курс увеличится на x%, то курс падал на x%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс?

(См. также задачу 66335.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 66343  (#4)

Тема:   [ Логика и теория множеств (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Покажите, что для любой последовательности $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$, ..., состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие $n$ и $k$, что $|a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1}+ ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}|=2017.$
Прислать комментарий     Решение


Задача 66344  (#5)

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:

  1. вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
  2. после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа R.

а) Докажите, что при R = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если R > 0,5, то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если R = 0,6?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .