|
|
 |
Условие
Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
а) Докажите, что при $R$ = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
б) Докажите, что если $R$ > 0,5, то процесс резки когда-нибудь остановится.
в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если $R$ = 0,6?
Решение
а) Исходный кусок разрежем, например, в отношении $3 : 2$.
Пусть у нас уже есть несколько кусков весов $2d > 2c > ... > b > a$, удовлетворяющих условию задачи, то есть $a > d$ (возможно, что кусков всего два или три, тогда некоторые веса выписаны дважды). Покажем, что можно сделать ещё один шаг с сохранением условий. Выберем положительное $h < min(a - d, d- c)$. Разрежем больший кусок на куски веса $d + h$ и $d - h$. Тогда $d + h < a$ и $d - h > c$, то есть для кусков $2c > ... > b > a > d + h > d - h$ условия по-прежнему выполнены.
б) Будем считать, что вес исходного куска равен 1. Пусть на некотором этапе у нас есть $k$ кусков, причём самый большой из них имеет вес $M$. Поскольку каждый из остальных кусков больше $\frac{M}{2}$, то сумма всех весов равна 1 и больше $M(1 + \frac{k-1}{2}) = \frac{(k+1)M}{2}$, то есть $M < \frac{2}{k+1}$.
Пусть процесс продолжается неограниченно долго. В силу доказанного неравенства каждый кусок рано или поздно будет разрезан. Поскольку $2R > 1$, найдётся такое натуральное $n$, что $(2R)^n > 2$. Зафиксируем веса кусков на момент, когда есть $n+1$ кусок, и продолжим разрезания, пока все фиксированные веса не будут разрезаны. Пусть $a \geqslant b$ – соседние фиксированные веса. Так как $R > 0,5$, то каждый раз мы режем самый большой кусок $M$, иначе обе части не будут больше $RM$. Поэтому, когда $a$ будет разрезан, $b$ ещё цел. Пусть $a$ разрезан на части веса $c$ и $d$. По условию $c > Rb$ и $d > Rb$, а $a > 2Rb$. Написав аналогичные неравенства для всех фиксированных весов, получим что отношение наименьшего фиксированного веса $m$ к наибольшему фиксированному весу $M$ меньше $2R^{-n} < \frac{1}{2} < R$. Противоречие.
в) Пример. 54 → {32, 22} → {22, 18, 14} → {18, 14, 11, 11} → {14, 11, 11, 9, 9} → {11, 11, 9, 9, 7, 7}.
Оценка. Допустим, получилось семь кусков. Зафиксируем момент, когда было четыре куска: $d \geqslant c \geqslant b \geqslant a$.
Затем было последовательно разрезано три куска. Как показано в б), на каждом шаге разрезается наибольший кусок. Значит, сначала был разрезан кусок веса $d$ – пусть на куски $x \geqslant y$. Поскольку $y > \frac{3}{5}x$, то $x < \frac{8}{5}d < \frac{5}{3}d < a$.
Следовательно, на этом момент наибольшим куском стал $c$, и разрезан будет он. Аналогично после этого будет разрезан кусок $b$. По доказанному в пункте б), $d > 2Rс = 1,2c$. Аналогично $с > 1,2b$, $b > 1,2a$. Отсюда $a < \left(\frac{5}{6}\right)^{3}d < 0,6d$.
Противоречие.
Ответ
в) На 6 кусков.
Замечания
Баллы: 3 + 4 + 4.
