ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 66695  (#1)

Тема:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка. Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66696  (#2)

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Даны четыре натуральных числа. Каждое из данных чисел делится на наибольший общий делитель остальных трёх. Наименьшее общее кратное каждых трёх из данных чисел делится на оставшееся четвёртое. Докажите, что произведение данных чисел – точный квадрат.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66697  (#3*)

Тема:   [ Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $T$. К ним проведена общая внешняя касательная, касающаяся первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Общая касательная к окружностям, проведённая в точке $T$, пересекает прямую $AB$ в точке $M$. Пусть $AC$ – диаметр первой окружности. Докажите, что отрезки $CM$ и $AO_2$ перпендикулярны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66698  (#4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В углу шахматной доски $8\times8$ стоит фишка. Петя и Вася двигают фишку по очереди, начинает Петя. Он делает фишкой один ход как ферзём (пройденной считается только клетка, куда в итоге переместилась фишка), а Вася – два хода как королём (обе клетки считаются пройденными). Нельзя ставить фишку на клетку, где она уже бывала (включая исходную клетку). Кто не сможет сделать ход – проигрывает. Кто из ребят может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66699  (#5)

Тема:   [ Раскраски ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В каждой вершине выпуклого многогранника сходятся три грани. Каждая грань покрашена в красный, жёлтый или синий цвет. Докажите, что число вершин, в которых сходятся грани трёх разных цветов, чётно.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .