|
|
 |
Условие
Даны четыре натуральных числа. Каждое из данных чисел делится на наибольший общий делитель остальных трёх. Наименьшее общее кратное каждых трёх из данных чисел делится на оставшееся четвёртое. Докажите, что произведение данных чисел – точный квадрат.
Решение
Обозначим данные числа $a, b, c, d$. Пусть $p$ – произвольное простое число. Степени вхождения $p$ в данные числа обозначим $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Можно считать, что $\alpha \geqslant \beta \geqslant \gamma \geqslant \delta$.
Так как $d$ делится на $(a, b, c)$, то $\delta \geqslant \gamma$. Значит, $\gamma = \delta$.
Так как $[b, c, d]$ делится на $a$, то $\beta \geqslant \alpha$. Значит, $\alpha = \beta$.
Следовательно, $p$ входит в $abcd$ в чётной степени $2\alpha + 2\delta$. Поскольку это справедливо для любого $p$, то $abcd$ – квадрат.
Замечания
1. Данные числа могут быть любыми полученного вида: каждый простой множитель должен входить в разложение двух чисел в одной степени, а в разложение других двух чисел – в другой степени (возможно, такой же). В частности, все числа могут быть различны, в отличие от задачи 66694).
Справедливо более сильное утверждение: если даны $2n$ натуральных чисел, НОК любых $n + 1$ из которых делится на каждое, и каждое делится на НОД любых $n + 1$ из них, то произведение всех этих чисел – $n$-я степень натурального числа.
2. 4 балла.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| номер/год | |
| Номер | 39 |
| Дата | 2017/18 |
| неизвестно | |
| Вариант | весенний тур, базовый вариант, 10-11 классы |
| задача | |
| Номер | 2 |
