ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 66328  (#1)

Тема:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Существуют ли нецелые числа x и y, для которых {x}{y} = {x + y}?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66329  (#2)

Темы:   [ Касающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Панов М.Ю.

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$. Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66330  (#3)

Тема:   [ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Имеется 21 ненулевое число. Для каждых двух из них вычислены их сумма и произведение. Оказалось, что половина всех сумм положительна и половина – отрицательна. Каково наибольшее возможное количество положительных произведений?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66331  (#4)

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

а) Может ли шар некоторого радиуса высекать на гранях какого-нибудь правильного тетраэдра круги радиусов 1, 2, 3 и 4?

б) Тот же вопрос для шара радиуса 5.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66332  (#5)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Инварианты ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

В левой нижней клетке доски 100×100 стоит фишка. Чередуя горизонтальные и вертикальные ходы в соседнюю по стороне клетку (первый ход – горизонтальный), она дошла сначала до левой верхней клетки, а потом до правой верхней. Докажите, что найдутся две такие клетки A и B, что фишка не менее двух раз делала ход из A в B.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .